Enunciado

Nos exercícios de 13 a 20, ache uma equação da reta tangente a curva dada, no ponto indicado. Faça um esboço da curva com a reta tangente e a reta norma.

17)   y = 6 x ; ( 3,2 )

Passo 1

Primeiramente iremos calcular a inclinação da reta tangente. Para isso utilizamos a seguinte definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f x = 6 x , temos:

f x 1 + ∆ x = 6 x 1 + ∆ x e

f x 1 = 6 x 1

Logo, aplicando na definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ 6 x 1 + ∆ x - 6 x 1 ∆ x

Desenvolvendo o produto notável e simplificando, temos:

m x 1 = - 6 x 1 2

Substituindo o x do ponto:

m 3 = - 6 9 = - 2 3

Passo 2

Agora para encontrarmos a equação da reta tangente no ponto dado, utilizamos a equação fundamental da reta:

y - y p = m . ( x - x p )

Substituindo o coeficiente angular e o ponto dado, temos:

y - 2 = - 2 3 . x - 3

Colocando no formato de equação geral da reta, temos:

3 y - 6 = - 2 x + 6

2 x + 3 y - 12 = 0

Passo 3

Agora faremos o esboço do gráfico com a reta tangente e a reta normal no ponto dado é:

Resposta

Equação da reta tangente:

2 x + 3 y - 12 = 0

Gráfico:

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