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Nos exercícios de 5 a 12, remova da equação dada o termo x y por uma rotação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos.

6 .     4 x y + 3 x 2 = 4

Passo 1

Para efetuar a rotação, vamos usar os seguintes fatos:

  1. Se ( x , y ) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e ( x - , y - ) for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo α , então
  2. x = x - cos ⁡ α - y - sen ⁡ α                         y = x - sen ⁡ α + y - cos ⁡ α

  3. Se B ≠ 0 , a equação A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 pode ser transformada na equação A - x - 2 + B - y - 2 + C - x - + D - y - + F - = 0 onde A - e C - não são ambos nulos, por uma rotação de eixos de ângulo α para o qual tan ⁡ 2 α = B A - C .

Nós temos a equação 4 x y + 3 x 2 = 4 e vamos remover o termo x y , então vamos utilizar a fórmula de (2).

tan ⁡ 2 α = B A - C = 4 3

Passo 2

Agora para usar o fato 1 precisamos achar sen ⁡ α e cos ⁡ α . Usaremos as relações:

cos ⁡ α = 1 + cos ⁡ 2 α 2                             sen ⁡ α = 1 - cos ⁡ 2 α 2                         0 < α < π 2  

Como tan ⁡ 2 α = 4 3 , podemos montar o seguinte triângulo e achar as relações.

Com cos ⁡ 2 α = 3 5 , temos:

cos ⁡ α = 1 + 3 5 2                             sen ⁡ α = 1 - 3 5 2

cos ⁡ α = 8 10 = 4 4 = 2 5                             sen ⁡ α = 2 10 = 1 5

Passo 3

Agora vamos usar os dados acima para trocar as coordenadas com a fórmula:

x = x - cos ⁡ α - y - sen ⁡ α                         y = x - sen ⁡ α + y - cos ⁡ α

x = x - 2 5 - y - 1 5                         y = x - 1 5 + y - 2 5

Substituindo na nossa equação, ficamos com:

4 x - 2 5 - y - 1 5 x - 1 5 + y - 2 5 + 3 x - 2 5 - y - 1 5 2 = 4

Simplificando essa expressão, nós obtemos a equação:

4 x - 2 - y - 2 = 4         →         - x - 2 1 + y - 2 4 = 1  

Que é a equação de uma hipérbole com centro na origem e sem o termo x y .

Passo 4

Como cos ⁡ α = 2 5 , então o ângulo de rotação foi aproximadamente α ≈ 26 ° . Sendo assim, segue o esboço da hipérbole com o eixo OXY e os eixos rotacionados ≈ 26 ° .

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