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Nos exercícios de 13 a 20, ache uma equação da reta tangente a curva dada, no ponto indicado. Faça um esboço da curva com a reta tangente e a reta norma.

14)   y = x 2 - x + 2 ; ( 2,4 )

Passo 1

Primeiramente iremos calcular a inclinação da reta tangente. Para isso utilizamos a seguinte definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f x = x 2 - x + 2 , temos:

f x 1 + ∆ x = x 1 + ∆ x 2 - x 1 + ∆ x + 2 e

f x 1 = x 1 2 - x 1 + 2

Logo, aplicando na definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ x 1 + ∆ x 2 - x 1 + ∆ x + 2 - x 1 2 - x 1 + 2 ∆ x

Desenvolvendo o produto notável e simplificando, temos:

m x 1 = 2 x 1 - 1

Substituindo o x do ponto:

m 2 = 2 . 2 - 1 = 3

Passo 2

Agora para encontrarmos a equação da reta tangente no ponto dado, utilizamos a equação fundamental da reta:

y - y p = m . ( x - x p )

Substituindo o coeficiente angular e o ponto dado, temos:

y - 4 = 3 . x - 2

Colocando no formato de equação geral da reta, temos:

- 3 x + y + 2 = 0

Passo 3

Agora faremos o esboço do gráfico com a reta tangente e a reta normal no ponto dado é:

Resposta

Equação da reta tangente:

- 3 x + y + 2 = 0

Gráfico:

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