Enunciado

Nos exercícios de 13 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.

13 .     x 2 + x y + y 2 - 3 y - 6 = 0

Passo 1

Vamos começar efetuando uma rotação para eliminar o termo x y e depois a translação. Para efetuar a rotação, vamos usar os seguintes fatos:

  1. Se ( x , y ) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e ( x - , y - ) for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo α , então
  2. x = x - cos ⁡ α - y - sen ⁡ α                         y = x - sen ⁡ α + y - cos ⁡ α

  3. Se B ≠ 0 , a equação A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 pode ser transformada na equação A - x - 2 + B - y - 2 + C - x - + D - y - + F - = 0 onde A - e C - não são ambos nulos, por uma rotação de eixos de ângulo α para o qual tan ⁡ 2 α = B A - C .

Nós temos a equação x 2 + x y + y 2 - 3 y - 6 = 0 e vamos remover o termo x y , então utilizaremos a fórmula de (2).

tan ⁡ 2 α = 1 1 - 1 = ∞

Aqui já podemos peceber que o arco cuja tangente tende ao infinito é π 2 . Então 2 α = π 2 e α = π 4 .

Passo 2

Agora para usar o fato 1 precisamos achar sen ⁡ α e cos ⁡ α . Usaremos as relações:

cos ⁡ π 4 = 2 2                             sen ⁡ π 4 = 2 2                      

Passo 3

Agora vamos usar os dados acima para trocar as coordenadas com a fórmula:

x = x - cos ⁡ α - y - sen ⁡ α                         y = x - sen ⁡ α + y - cos ⁡ α

x = x - 2 2 - y - 2 2                         y = x - 2 2 + y - 2 2

Substituindo na nossa equação, ficamos com:

x - 2 2 - y - 2 2 2 + x - 2 2 - y - 2 2 x - 2 2 + y - 2 2 + x - 2 2 + y - 2 2 2 - 3 x - 2 2 + y - 2 2 - 6 = 0

Simplificando essa expressão efetuando as multiplicações, nós obtemos a equação:

3 x - 2 - 3 2 x - + y - 2 - 3 2 y - = 12

Passo 4

Agora precisamos completar o quadrado para depois efetuar a translação.

3 x - 2 - 2 x - + 2 2 2 + y - 2 - 3 2 y - + 3 2 2 2 = 12 + 3 2 2 2 + 3 2 2 2

3 x - - 2 2 2 + y - - 3 2 2 2 = 12 + 3 ⋅ 2 4 + 9 ⋅ 2 4

3 x - - 2 2 2 + y - - 3 2 2 2 = 12 + 6 4 + 18 4

3 x - - 2 2 2 + y - - 3 2 2 2 = 48 + 6 + 18 4 = 72 4

12 x - - 2 2 2 + 4 y - - 3 2 2 2 = 72         →         x - - 2 2 2 6 + y - - 3 2 2 2 18 = 1        

Temos então uma equação reduzida de elipse.

Faremos agora a translação de eixos para o centro da elipse que é C = 2 2 , 3 2 2 . Lembre-se que esse centro se refere ao sistema de coordenadas O x - y - .

x - = x - ' + 2 2                       y - = y - ' + 3 2 2  

Ficamos com a equação:

x - ' 2 6 + y - ' 2 18 = 1        

Essa é a equação de uma elipse na sua forma mais reduzida com origem no sistema O X - ' Y - ' .

Passo 5

Como cos ⁡ α = π 4 , então o ângulo de rotação foi de α = 45 ° . Sendo assim, segue o esboço da elipse com os eixos O X Y , os eixos O X - Y -   rotacionados 45 ° e os eixos transladados O ' X - ' Y ' - .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Efetuar uma rotação nos eixos coordenados a fim de eliminar o termo x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico. 2 x 2 + 4 x y + 2 y
Efetuar uma rotação nos eixos coordenados a fim de eliminar o termo x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico. 2 x 2 + 2 6 x y + y
A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível. x 2 + y 2 + 2 x y = 0
A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível. x 2 + y 2 + 2 x y - 8 = 0
A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível. x 2 + y 2 + 2 x y + 4 = 0