Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite.

l i m x → 2   x 3 = 8

Passo 1

Devemos usar a definição formal de limite para demonstrar que l i m x → 2   x 3 = 8 . Eu sei que você deve estar pensando que é óbvio que esse limite vale 8 , porém devemos usar a definição precisa de limite.

A definição diz que:

lim x → a ⁡ f x = L

Quando para todo número ε > 0 , existe um número δ > 0 tal que: se 0 < x - a < δ então f x - L < ε .

Passo 2

Da definição apresentada na seção, tomando a = 2 , f ( x ) = x 3 e L = 8 , temos que o limite existe se para todo ϵ > 0 , conseguirmos encontrar um δ > 0 tal que

0 < | x - 2 | < δ ⇒ | x 3 - 8 | < ϵ

Eu sei que isso parece complicado, mas é só notação rebuscada: na prática, o que faremos é tentar achar um δ que satisfaça a relação exposta. Basta achar um δ em função de ϵ que satisfaça isso que mostramos o limite!!!

Vamos reescrever a relação que queremos satisfazer:

Como a 3 - b 3 = ( a - b )   ( a 2 + a b + b 2 ) , temos que x 3 - 8 = ( x - 2 )   ( x 2 + 2 x + 4 ) . Assim, temos que

0 < x - 2 < δ

| x - 2 | ⋅ | x 2 + 2 x + 4 | < ϵ

Como quando tomamos o limite x deve estar próximo de 2 , podemos tomar por exemplo | x - 2 | < 1 .

Assim,

- 1 < x - 2 < 1

1 < x < 3

Observe que nesse intervalo a função x 2 + 2 x + 4 é crescente, de modo que

Se

x < 3

Então

x 2 + 2 x + 4 < 3 2 + 2 ⋅ 3 + 4 = 19 .

Desta forma, como veremos, é interessante fazer a escolha δ = m i n { 1 ,   ϵ / 19 } .

Passo 3

Agora vamos provar que a escolha feita no passo 2 é suficiente para demonstrar o limite.

Se

δ = min ⁡ 1 , ϵ 19

então

δ ≤ 1

e

δ ≤ ϵ 19

Assim, como δ ≤ 1 , então | x - 2 | < δ ≤ 1 .

Desta forma,

- 1 < x - 2 < 1

1 < x < 3

Por outro lado, se

1 < x < 3

então

x 2 + 2 x + 4 < 19

Assim, essa escolha de δ implica | x 2 + 2 x + 4 | < 19 .

Além disso, temos que δ ≤ ϵ / 19 , de modo que | x - 2 | < δ ≤ ϵ / 19 . Desta forma, com essa escolha de δ , temos que

0 < x - 2 < δ

| x - 2 | < ϵ 19   e   | x 2 + 2 x + 4 | < 19

| x - 2 | ⋅ | x 2 + 2 x + 4 | < ϵ 19 ⋅ 19 = ϵ

Assim, como achamos um δ tal que para todo ϵ > 0 a relação é satisfeita, provamos o limite!!!

É importante ressaltar que nossa escolha para δ não é única: outras escolhas podem demonstrar o limite também.

Resposta

Demonstração.

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Se h x = x + 9 - 3 x , mostre que lim x → 0 ⁡ h x = 1 6 , mas que h ( 0 ) não está definida.
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Use a Definição 2.1.1 para provar que se lim x → a ⁡ f x = L e lim x → a ⁡ g x = M = 0 Então lim x → a [ ⁡ f x . g ( x ) ] = 0
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