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Nos exercícios de 1 a 14, ache o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.

13 )   lim x → 4 ⁡ x ² - 3 x + 4 2 x ² - x - 1 3

Passo 1

Neste exercício precisamos descobrir o limite para a função dada quando x está se aproximando de 4, demonstrando os teoremas necessários para alcançá-lo.

Sabendo que:

f x = x ² - 3 x + 4 2 x ² - x - 1 3

O próximo passo é escolher o teorema a ser utilizado.

Passo 2

Podemos resolver o limite usando o Teorema de Limite 9:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x = L M

Sendo assim:

l i m x → 4 x ² - 3 x + 4 3 2 x ² - x - 1 3 = l i m x → 4 x ² - 3 x + 4 3 l i m x → 4 2 x ² - x - 1 3

Usando o Teorema 10:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L ,   e n t ã o   l i m x → a f ( x ) 3 = L 3

l i m x → 4 x ² - 3 x + 4 3 l i m x → 4 2 x ² - x - 1 3 = l i m x → 4   ( x ² - 3 x + 4 ) 3 l i m x → 4 ( 2 x ² - x - 1 ) 3

Podemos resolver o limite usando o Teorema de Limite 4:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x ∓ g ( x ) = L ∓ M

l i m x → 4   ( x ² - 3 x + 4 ) 3 l i m x → 4 ( 2 x ² - x - 1 ) 3 = l i m x → 4   x ² - l i m x → 4   3 x - 4 3 l i m x → 4   2 x ² - l i m x → 4 x + 1 3

Usando o Teorema de Limite 6:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x . g ( x ) = L . M

l i m x → 4   x ² - l i m x → 4   3 x - 4 3 l i m x → 4   2 x ² - l i m x → 4 x + 1 3 = l i m x → 4   x ² - l i m x → 4   3 x - 4 3 l i m x → 4   2 .   l i m x → 4 x ² - l i m x → 4 x + 1 3

Pelo Teorema 2:

l i m x → 4   2 = 2

Pelo Teorema 8:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = a ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x n = a n  

l i m x → 4   x = 4

l i m x → 4   x ² = 4 ² = 16

Usando o Teorema 1:

lim x → a ⁡ m x - b = m a - b

l i m x → 4   3 x - 4 = 3.4 - 4 = 8

l i m x → 4   x + 1 = 4 + 1 = 5

Concluindo:

l i m x → 4   x ² - l i m x → 4   3 x - 4 3 l i m x → 4   2 .   l i m x → 4 x ² - l i m x → 4 x + 1 3 = 16 - 8 3 2 .   16 - 5 3 = 8 3 2 7 3 = 2 3

Resposta

lim x → 4 ⁡ x ² - 3 x + 4 2 x ² - x - 1 3 = 2 3

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