Enunciado

Nos exercícios de 2 a 15 :

  1. Determine os traços
  2. Determine as seções
  3. Identifique a superfície quadrica
  4. Esboce os gráficos

10.

z 2 = 1 - 2 y + y ²

Passo 1

Oii, neste capitulo vamos usar tudo o que sabemos de Geometria Analitica. Vamos arregaçar as mangas e rabiscar bastante no caderno. Vamos lembrar de algumas coisas basicas. Podemos expressar formar geometricas atraves de equações matematicas. E cada equação, mesmo que mude apenas um sinal de + ou – , vai nos dizer um comportamento geometrico diferente. Por exemplo temos essas equações

y = a x 2 → Parábola

x 2 + y 2 = a 2 → Circulo

Agora se colocarmos um fator multiplicando x ou y esse circulo vai se achatar ficando oval. Chamamos isso de elipse. Voce pode encontrar essa forma sob os seguintes formatos

a x 2 + b y 2 = c

Ou,

x α 2 + y β 2 = 1

Onde no segundo caso vemos de forma mais clara os raios de x e y. O raio de x será a e o raio de y será b .

Agora, se trocarmos o sinal da equação geral da elispse, obtemos uma hiperbole. Voce pode encontrar essa forma sob os seguintes formatos

a x 2 - b y 2 = c

Ou,

x α 2 - y β 2 = 1

É interessante notar que se botarmos num mesmo plano as equações

x α 2 - y β 2 = 1

e

x α 2 + y β 2 = 1

Vemos o seguinte resultado

É como se o sinal forçasse a concavidade das curvas virar para dentro ou para fora. Para dentro elas se unem numa elipse e para fora as curvas explodem para infinito dando forma as hiperboles.

Passo 2

Quando o exercício pede traços ele quer que vejamos as imagens dessa função quadrica nos 3 planos coordenados: XY , XZ ,YZ. E com isso a gente conseguir formar imagens mais nítidas de como nossa quadrica deve ser. Vamos cair dentro então. Temos a função

z 2 = 1 - 2 y + y ²

Podemos manipular um pouco essa equação e obter o seguinte

z 2 = y - 1 2

z = y - 1

Podemos perceber que isso no plano ZY, onde x = 0 é um par de retas.

Como a variável x não esta na equação podemos concluir que nos planos XZ e XY vamos ter apenas um conjunto de pontos que não ajudam a ter uma boa ideia da quadrica. Afinal em :

Plano XY, temos que z =   0

0 = y - 1

y = 1

Plano XZ, temos que   y = 0

z = - 1

O que implica em

z =   - 1  

z = 1

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

z = y - 1

Podemos perceber que isso no plano ZY, onde x = 0 é um par de retas.

Plano XY, temos que z =   0

0 = y - 1

y = 1

Plano XZ, temos que   y = 0 , O que implica em

z =   - 1  

z = 1

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Esboce seu gráfico: x 2 + y 2 + z 2 = 1 , y ≤ 0
Identifique a superfície: x 2 + y 2 + z 2 = 1 , y ≤ 0
Determine os traços: 4 x 2 - 9 y 2 + 9 z 2 = 36
Escreva a equação e identifique a seção de cada superfície quádrica no plano indicado. 3 x 2 + 4 y 2 = z , x = 2
Escreva a equação e identifique a seção de cada superfície quádrica no plano indicado. x 2 9 - y 2 4 + z 2 25 = 1 , z = 4