1.

Identifique que a Quádrica na forma quadrática abaixo

7 x 2 + 6 y 2 + 5 z 2 - 4 x y - 4 y z - 18 = 0

Resolução
2.

Identifique que a Quádrica na forma quadrática abaixo

3 x 2 + 5 y 2 + 3 z 2 - 2 x y + 2 x z - 2 y z - 4 x + 6 y - 2 z = 0

Resolução
3.

Identifique que a Quádrica na forma quadrática abaixo

y 2 - 4 x z - 4 x + 2 y - 3 = 0

Resolução
4.

Seja f x , y , z = x 2 + 3 y 2 + z 2 - 2 x y

a) Classifique a quádrica f x , y , z = 1 , como elipsóide, hiperboloide de uma folha ou hiperboloide de duas folhas, justificando sua resposta.

Resolução
5.

Considere a superfície quádrica dada por

x 2 + 2 y 2 - 2 x + 4 y + z + 2 = 0

No espaço x y z . Assinale a alternativa correta.

  1. A quádrica é um elipsoide
  2. A quádrica é um hiperboloide de duas folhas.
  3. A quádrica é um cone.
  4. A interseção da quádrica com o plano y = 2 é uma parábola.
  5. A interseção da quádrica com o plano z = 2 é uma elipse.
Resolução
6.

Considere a função f x , y = 4 x 2 + y 2 + 1

a) Encontre o domínio e a imagem de f ( x , y )

b) O gráfico de f ( x , y ) é uma superfície quádrica? Se a resposta for sim, identifique a superfície e esboce gráfico de f .

c) Indentifique as curvas de nível da função f e esboce um mapa de contorno. Explique a relação entre o mapa de controno e o gráfico de f x , y .

Resolução
7.

Considere (em todos os itens dessa questão) a função:

f x , y , z = x 2 + 2 x y + 2 y z + z 2 + 10

E a superfície de nível

S = x , y , z ∈ R 3     f x , y , z = 11 }

c) Determine se S é um elipsoide, um paraboloide hiperbólico (sela), um hiperboloide de uma folha ou um hiperboloide de duas folhas, justificando sua resposta.

Dica: Para este item, leve em conta que a matriz:

1 1 0 1 0 1 0 1 1

tem autovalores 1 ,   2 e - 1 .

d) Determine um vetor não nulo v = ( a , b , c ) de maneira que todo plano π ortogonal a v corta S ao longo de elipses, isto é:

π ∩ S   é   u m a   e l i p s e

Resolução

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