Enunciado

Nos Exercícios 1-6, use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.

Passo 1

Vamos começar lembrando que o método da casca é um método para calcular o volume de uma região segundo a fórmula:

V = ∫ a b 2 π r a i o   d a c a s c a a l t u r a d a   c a s c a

Nesse caso, como o volume é em torno de x , o raio da casca é igual a y . Já a altura da casca é igual a 3 - y 2 . Assim,

V = ∫ 0 3 2 π y 3 - y 2 d y

Passo 2

Vamos separar em integrais distintas:

V = ∫ 0 3 2 π y 3 - y 2 d y = 2 π ∫ 0 3 3 y d y - ∫ 0 3 2 π y 3 d y

V = 6 π ∫ 0 3 y d y - 2 π ∫ 0 3 y 3 d y

Calculando a integral:

V = 6 π ∫ 0 3 y d y - 2 π ∫ 0 3 y 3 d y = 6 π y 2 2 - 2 π y 4 4 0 3

V = 6 π 3 2 2 - 2 π 3 4 4 - 6 π 0 2 2 - 2 π 0 4 4 = 6 π ∙ 3 2 - 2 π ∙ 9 4

V = 9 π - 9 π 2 = 18 π - 9 π 2 = 9 π / 2

Resposta

9 π / 2

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