Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. Esboce a região e uma casca típica.

y = 4 x - x 2 ,   y = 3 ; em torno de x = 1

Passo 1

Com os dados do exercício temos os seguintes esboços da região e da casca típica:

Passo 2

O círculo tem raio x - 1 , e a circunferência tem perímetro 2 π ( x - 1 ) , e altura 4 x - x 2 - 3 = - x 2 + 4 x - 3 . Com isso, temos o seguinte volume:

V = ∫ 1 3 2 π x - 1 ( - x 2 + 4 x - 3 )   d x = 2 π ∫ 1 3 ( - x 3 + 5 x 2 - 7 x + 3 )   d x

V = 2 π - 1 4 x 4 + 5 3 x 3 - 7 2 x 2 + 3 x 1 3 = 2 π - 81 4 + 45 - 63 2 + 9 - - 1 4 + 5 3 - 7 2 + 3 =

2 π 4 3 = 8 3 π

Resposta

V = 8 3 π .

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