Enunciado

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.

22. z = x . s e n   2 y

Passo 1

Então galera, para encontrarmos os pontos críticos da função que nos foi dada basta derivarmos parcialmente a função em relação a x e a y e, em seguida, igualar as funções a zero! A função que nos foi dada é a seguinte:

z = x . s e n   2 y

Derivando em relação a x :

∂ z ∂ x = s e n   2 y

Derivando em relação a y :

∂ z ∂ y = 2 x . cos ⁡ 2 y

Igualando ambas as equações a zero, teremos:

s e n   2 y = 0 ⇒ y = k π 2 2 x . cos ⁡ 2 y = 0

Da segunda equação, podemos tirar o seguinte:

2 x . cos ⁡ 2 . k π 2 = 0

2 x . cos ⁡ k π = 0

2 x . ± 1 = 0 ⇒ x = 0

Sendo assim, podemos concluir que os pontos críticos da função são 0 , k π 2 .

Passo 2

Para classificarmos se o ponto crítico se trata de um ponto de máximo ou ponto de mínimo, devemos determinar as derivadas parciais de segunda ordem para, em seguida, utilizar o determinante Hessiano da função z = f x ,   y que temos, tudo bem? As derivadas serão:

∂ f ∂ x = s e n   2 y

∂ 2 f ∂ x 2 = 0

Para y :

∂ f ∂ y = 2 x . cos ⁡ 2 y

∂ 2 f ∂ y 2 = - 4 x . s e n   2 y

Para as derivadas mistas:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = 2 . cos ⁡ 2 y

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 2 . cos ⁡ 2 y

Tudo bem, as derivadas foram encontradas!

Passo 3

Agora que encontramos as derivadas parciais, temos que o determinante será:

H x ,   y = ∂ 2 f ∂ x 2 x ,   y ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y ∂ 2 f ∂ y 2 ( x ,   y )  

H 0 , k π 2 = 0 2 . cos ⁡ 2 y 2 . cos ⁡ 2 y - 4 x . s e n   2 y = - 4 . c o s 2 2 y < 0

Sendo assim, temos que o resultado do nosso determinante é negativo. Pelas proposições estudadas na seção 5.6.1 temos que quando o determinante é menor do que zero, como é o nosso caso, então os pontos críticos em questão são pontos de sela. Dessa forma, temos que:

0 ,   k π 2   s ã o   p o n t o s   d e   s e l a

Resposta

Pontos críticos: 0 ,   k π 2 ;

Classificação: Pontos de sela.

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