Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 18, determine se a função é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função.

14. g x = c o s e c   x ,   x ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 2 π

Passo 1

Primeiro vamos entender o que é uma função biunívoca (ou injetora). Uma função dessa forma tem a característica de que cada componente do seu domínio só tem um correspondente em sua imagem. O diagrama a seguir demonstra essa característica.

Onde A é o domínio da função e B é a imagem dessa função, pode – se reparar que cada membro do domínio corresponde a um único membro da imagem.

Podemos entender x ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 2 π como o domínio da nossa função, onde ela só é definida nesse domínio.

Passo 2

Agora vamos avaliar a função que nos foi dada.

G x = c o s s e c   x ,     x ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 2 π

Para fazer isso, vamos usar o teorema 7.1.2 do capítulo 7, seção 2, que diz que se uma função for crescente ou decrescente em todo seu domínio ou intervalo, ela é biunívoca.

Para saber se a função é crescente ou decrescente vamos derivar a função e ver se ela é negativa no seu domínio ou positiva.

Passo 3

Vamos derivar a função.

g x = c o s s e c   x

g ' x = - c o t g   x ⋅ c o s s e c   x

Passo 4

Agora, sabemos que:

c o s s e c   x = 1 s e n   x

E a função sen ⁡ x é positiva no intervalo 0 < x < π 2 logo cossec ⁡ x é positiva nesse intervalo.

A função sen ⁡ x negativa no intervalo π < x < 3 π 2 logo cossec ⁡ x é negativa nesse intervalo.

Vamos discutir sobre a cotangente.

c o t g   x = 1 t g   x

E a função tg ⁡ x é positiva no intervalo 0 < x < π 2 logo cotg ⁡ x é positiva nesse intervalo.

A função tg ⁡ x é positiva no intervalo π < x < 3 π 2 logo cotg ⁡ x é positiva nesse intervalo.

Então a multiplicação da função g ' x = - cot ⁡ x ⋅ c o s s e c   x   que no caso é a derivada que queremos avaliar resulta que a g ' ( x ) é negativa em 0 < x < π 2 e positiva em π < x < 3 π 2 .

Logo a função g ( x ) é decrescente em 0 < x < π 2 e crescente em π < x < 3 π 2 .

Assim, a função g ( x ) não assume mesmos valores na imagem com mesmo elemento do domínio, logo ela é biunívoca.

Passo 5

Agora vamos ver como ficaria o gráfico dessa função.

Através do gráfico também é possível ver o que constatamos no passo 4.

Resposta

A função g ( x ) é biunívoca.

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