Enunciado

Nos exercícios de 19 a 40, determine se a função dada tem uma inversa. Se a inversa existir, determine – a e faça o seguinte: (a) ache o domínio e a imagem; (b) faça esboços dos gráficos da função e de sua inversa, no mesmo conjunto de eixos. Se a função não tiver uma inversa, mostre que uma reta horizontal intercepta o gráfico da função em mais de um ponto.

21. g x = 1 - x 2

Passo 1

Para saber se uma função tem inversa, basta verificar se a função biunívoca.

Então temos que verificar se nossa função biunívoca.

f x = 1 - x 2

Para fazer isso, vamos usar o teorema 7.1.2 do capítulo 7, seção 2, que diz que se uma função for crescente ou decrescente em todo seu domínio ou intervalo, ela é biunívoca.

Para saber se a função é crescente ou decrescente vamos derivar a função e ver se ela é negativa no seu domínio ou positiva.

Passo 2

Vamos derivar a função.

f x = 1 - x 2

f ' x = - 2 x

Como a função f ' x > 0 para x < 0 e f ' x < 0 para x > 0 podemos concluir que f ( x ) é crescente para x < 0 e decrescente para x > 0 .

Assim, a função f ( x ) assume os mesmos valores na imagem com o mesmo elemento do domínio, logo ela não é biunívoca, então não admite inversa.

Passo 3

Agora vamos ver o gráfico da função que uma reta horizontal no gráfico toca em mais de um ponto dele.

Com o gráfico podemos ver melhor o fato de a função não ser biunívoca.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Inicie o gráfico com y=l nx . Determine uma equação para o gráfico que resulte em uma reflexão em torno da reta y=x .
Comece com um gráfico de y=l nx . Determine uma equação para o gráfico que resulte em uma compressão vertical para um fator de 4.
Ache o valor exato da quantidade dada. cos ⁡ a r c s e n- 1 2 + a r c s e n 1 4
Ache o valor exato da quantidade dada. cos ⁡ 2a r c s e n- 5 13