Enunciado

Nos exercícios de 19 a 40, determine se a função dada tem uma inversa. Se a inversa existir, determine – a e faça o seguinte: (a) ache o domínio e a imagem; (b) faça esboços dos gráficos da função e de sua inversa, no mesmo conjunto de eixos. Se a função não tiver uma inversa, mostre que uma reta horizontal intercepta o gráfico da função em mais de um ponto.

20. f x = 3 x + 6

Passo 1

Para saber se uma função tem inversa, basta verificar se a função biunívoca.

Então temos que verificar se nossa função biunívoca.

f x = 3 x + 6

Para fazer isso, vamos usar o teorema 7.1.2 do capítulo 7, seção 2, que diz que se uma função for crescente ou decrescente em todo seu domínio ou intervalo, ela é biunívoca.

Para saber se a função é crescente ou decrescente vamos derivar a função e ver se ela é negativa no seu domínio ou positiva.

Passo 2

Vamos derivar a função.

f x = 3 x + 6

f ' x = 3

Como a função f ' x > 0 para todo x podemos concluir que f ( x ) é crescente.

Assim, a função f ( x ) não assume os mesmos valores na imagem com o mesmo elemento do domínio, logo ela é biunívoca, logo admite inversa.

Passo 3

Agora vamos achar função inversa.

Tendo:

f x = 3 x + 6

y = 3 x + 6

⇒ 3 x = y - 6

⇒ x = y - 6 3

⇒ f - 1 y = y - 6 3

Passo 4

Tendo a inversa da função definida como:

f - 1 y = y - 6 3

Podemos ver que ela não tem nenhuma restrição para um valor de y, logo o domínio da função inversa que é a imagem da função normal está contido no conjunto dos números reais. A imagem da função inversa é o domínio da função normal, logo sua imagem está contida no conjunto dos números reais.

Passo 5

Agora vamos ver como fica o gráfico das duas funções.

A reta cinza representa f ( x ) e a reta vermelha representa f - 1 ( y ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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