Enunciado

Nos Exercícios 19-38, determine d y .

30-

y = 2 c o t g ((1)/(sqrt(x)))

Passo 1

Podemos escrever a função da seguinte forma:

y = 2 xx ((cos ((1)/(sqrt(x))))/(sin ((1)/(sqrt(x)))))

Passo 2

Fazendo a derivada dessa função em relação a x nós temos:

(d y)/(d x) = 2 xx (((cos ((1)/(sqrt(x)))^' sin ((1)/(sqrt(x))) - cos ((1)/(sqrt(x))) sin ((1)/(sqrt(x)))^'))/(sin^2 ((1)/(sqrt(x)))))

Fazendo a regra do quociente nós encontramos:

(d y)/(d x) = 2 xx ((- sin ((1)/(sqrt(x))) xx - (1)/(2) x^(- (3)/(2)) - cos ((1)/(sqrt(x))) xx cos ((1)/(sqrt(x))) xx - (1)/(2) x^(- (3)/(2)))/(sin^2 ((1)/(sqrt(x)))))

Passo 3

Note que no numerador temos uma parcela (1)/(2) x^(- (3)/(2)) que multiplica um co s^2 x + sin^2 x que é a nossa relação fundamental da trigonometria então cortando esse 2 teremos:

(d y)/(d x) = (1)/(sqrt(x^3) xx sin^2 ((1)/(sqrt(x))))

Onde o inverso do seno é a cossecante . E passando o d x pro outro lado temos a resposta

Resposta

d y = ((1)/(sqrt(x^3)) xx c o s s e c^2 ((1)/(sqrt(x)))) d x

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