Enunciado

Nos Exercícios 21-42, determine a derivada de y em relação à variável apropriada.

42-

y = ln ⁡ x 2 + 4 - x t g - 1 x 2

Passo 1

Fazendo a derivada em relação x d d x da função acima nós teremos:

d y d x = 1 x 2 + 4 × 2 x - ( x ) ' t g - 1 x 2 + x t g - 1 x 2 '    

Uma vez que a derivada de l n ⁡ ( u ) em relação a x é:

1 u × u '

Arrumando a equação temos:

d y d x = 2 x x 2 + 4 - t g - 1 x 2 + x d d x t g - 1 x 2

Passo 2

Chamando de z a parcela t g - 1 x 2 para poder calcular sua derivada temos:

z = t g - 1 x 2

t g   z = x 2

Agora fazendo a derivada em relação a x dessa equação temos:

d z d x × sec 2 ⁡ z = 1 2

d z d x = 1 2 sec 2 ⁡ z

Como temos o valor da tangente e não da secante, temos que substituir-lo utilizando a relação fundamental da trigonometria:

sin 2 ⁡ z + cos 2 ⁡ z = 1

Dividindo pelo cos 2 ⁡ x :

t g 2 z + 1 = sec 2 ⁡ z

Como t g   z = x 2 → t g 2   z = x 2 4

d z d x = 1 2 1 + x 2 4

Arrumando temos:

d z d x = 1 1 + x 2 2 = 2 4 + x 2

Como z = t g - 1 x 2 temos:

d d x t g - 1 x 2   = 2 4 + x 2

Passo 3

Substituindo o resultado dessa derivada na equação que encontramos no final do passo 1, nós temos:

d y d x = 2 x x 2 + 4 - t g - 1 x 2 + x × 2 4 + x 2

d y d x = 2 x x 2 + 4 - t g - 1 x 2 - 2 x x 2 + 4

Como temos dois termos iguais:

d y d x = - t g - 1 x 2

Resposta

d y d x = - t g - 1 x 2

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