Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 , faça um esboço do gráfico da função; então, observando onde há quebras no gráfico, determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua e mostre por que a Definição 2.6 . 1 não é satisfeita em cada descontinuidade

15 )   g t = t 2 - 4 ,   s e   x < 2 4 ,     s e   x = 2 4 - t 2 ,     s e   2 < x

Passo 1

Tem uma regrinha que dita se uma função é contínua ou não, beleza? A gente faz assim:

lim x → a - ⁡ g t = lim x → a + ⁡ g t = g a

E isso vale pra qualquer a que a gente escolha. Confia em mim, qualquer um! Mas relaxa que não precisamos testar tooooodos os a possíveis. Como a função só muda de lei de formação em a = 2 , fazemos:

lim x → 2 - ⁡ g t = lim x → 2 + ⁡ g t = g 2

lim x → 2 - ⁡ t 2 - 4 = lim x → 2 + ⁡ 4 - t 2 = 4

0 = 0 = 4

E opa, tem algo errado aí! Não da pra 0 = 4 ser uma verdade. Sendo assim a função é descontínua em x = 2

Passo 2

Pra esboçar essa função simpática, note que t 2 - 4 e 4 - t 2 são parábolas, mas que não estão definidas em x = 2 . Pra esse ponto temos g 2 = 4 . Show, então basta desenhar essas parábolas e tirar o ponto 2 , 0 , comum às duas, e adicionar o ponto 2,4 , dado pela lei de formação:

Resposta

Função não é contínua em x = 2 .

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40. Prove que f x = 1 / x 4 + 7 x 2 + 1 2 é contínua em toda parte, justificando cuidadosamente cada passo.
47. Mostre que a equação x 3 + x 2 - 2 x = 1 tem, no mínimo, uma solução no intervalo - 1,1 .
44. Prove: Se f e g são contínuas em a , b , f ag a ,f bg b , então existe no mínimo uma solução para equação f x = g x em a , b . [ S u g e s t ã o ã :Considere f ( x ) - g ( x ) .]
35-36. Encontre os valores de x (se existirem) nos quais f não é contínua e determine se cada um desses valores é uma descontinuidade removível.35. (a) f x = x x (b) f x = x 2 + 3 x x + 3 (c) f x = x
35-36. Encontre os valores de x (se existirem) nos quais f não é contínua e determine se cada um desses valores é uma descontinuidade removível.36. (a) f x = x 2 - 4 x 3 - 8 (b) f x = 2 x - 3 , x ≤ 2