Enunciado

Nos Exercícios de 3 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.

22. x 2 + 2 x y + y 2 - x - 3 y = 0

Passo 1

Galera, para rotacionarmos os eixos, devemos seguir o seguinte teorema, segundo o Leithold na seção 10.4:

“Se ( x ,   y ) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e ( x - ,   y - ) for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo α , então:

i   x = x - . cos ⁡ α - y - . s e n   α   e   y = x - . s e n   α + y - . cos ⁡ α

i i   x - = x . cos ⁡ α + y . s e n   α   e   y - = - x . s e n   α + y . cos ⁡ α "

No qual α pode ser determinado utilizando-se a seguinte expressão:

c o t g   2 α = A - C B  

Aqui vale ressaltar que A é o termo que acompanha x ² , B é o termo que acompanha x y e C é o termo que acompanha y ² em uma equação de cônica, que é dada da seguinte maneira:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

Uma vez que esses conceitos estão claros pra gente, então podemos começar os trabalhos! Vamo que vamo!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

x 2 + 2 x y + y 2 - x - 3 y = 0

De ínicio, precisamos determinar cos ⁡ α e s e n   α , certo? Segundo a equação acima, temos que A = 1 , B = 2 e C = 1 . Sendo assim, temos:

c o t g   2 α = 1 - 1 2 = 0

Portanto:

α = π 4

Utilizando as identidades trigonométricas, teremos:

cos ⁡ α = 1 + cos ⁡ 2 α 2 = 1 2 = 2 2

s e n   α = 1 - cos ⁡ 2 α 2 = 1 2 = 2 2

Agora que determinamos s e n   α e cos ⁡ α , substituindo nas equações após a rotação de eixo, teremos:

x = x - . cos ⁡ α - y - . s e n   α   e   y = x - . s e n   α + y - . cos ⁡ α

x = x - . 2 2 - y - . 2 2   e   y = x - . 2 2 + y - . 2 2

Podemos escrever o seguinte também:

x + y = x - . 2 2 - y - . 2 2 + x - . 2 2 + y - . 2 2

x + y = 2 2 x - - y - + x - + y - = 2 . x -

x - y = x - . 2 2 - y - . 2 2 - x - . 2 2 + y - . 2 2

x - y = 2 2 x - - y - - x - - y - = - 2 . y -

Passo 3

Agora que encontramos as expressões para x e y pós rotação de eixos, vamos substituir os novos valores na equação dada, se liga:

x 2 + 2 x y + y 2 - x - 3 y = 0

x - . 2 2 - y - . 2 2 2 + 2 . x - . 2 2 - y - . 2 2 . x - . 2 2 + y - . 2 2 + x - . 2 2 + y - . 2 2 2 - x - . 2 2 - y - . 2 2 - 3 . x - . 2 2 + y - . 2 2 = 0  

Fazendo as devidas simplificações, abrindo esses produtos notáveis e completando quadrado, teremos o seguinte, galera:

y - 2 - 2 . y - . x - + x - 2 + y - - 6 x - = 0

2 x - 2 + y - = 6 x

Por fim, esboçando o gráfico, teremos:

Resposta

2 x - 2 + y - = 6 x

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