Enunciado

Nos exercícios 1 a 4, para a equação dada,

  1. Encontre uma equação do gráfico em relação aos eixos x -   e   y - , obtidos por uma rotação de um ângulo cuja medida é π 4 e
  2. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos.

4)   y 2 - x 2 = 16

Passo 1

Primeiramente, precisamos nos lembrar do Teorema 10.4.1 para resolver essa questão de rotação:

Teorema 10.4.1

Se (x,y) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e x - , y - for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo α , então

  1. x = x - . cos ⁡ α - y - . s e n   α e y = x - . sen ⁡ α + y - . c o s   α
  2. x - = x . cos ⁡ α + y . s e n   α e y - = - x . sen ⁡ α + y . c o s   α

Com α = π 4 no Teorema 10.4.1 (i), obtemos:

x = x - . cos ( π 4 )   ⁡ - y - . s e n   ( π 4 ) e y = x - . sen ⁡ π 4 + y - . c o s   ( π 4 )

x = x - . 2 2 ⁡ - y - . 2 2 e y = x - . 2 2 ⁡ + y - . 2 2

Substituindo essas expressões para x e y na equação y 2 - x 2 = 16 , obtemos:

x - . 2 2 ⁡ + y - . 2 2 2 - x - . 2 2 ⁡ - y - . 2 2 2 = 16

Desenvolvendo os produtos notáveis e simplificando:

x - . y - = 8

Passo 2

A equação obtida no Passo 1 é a equação de uma hipérbole cujas assíntotas são as bissetrizes dos quadrantes no sistema xy. Assim o gráfico da equação x y = 8 é apresentado abaixo:

Resposta

a)

x - . y - = 8

b)

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