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Efetuar uma rotação nos eixos coorenados a fim de eliminar o termo em x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico.

x 2 + y 2 + 4 x y - 3 = 0

Passo 1

Vamos resolver essa pelo método dos invariantes. Vamos dar mais uma olhada em como se faz esse método. Vou repetir mais uma vez! É assim: a equação completa da cônica é:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

Quando a gente fizer a rotação da cônica, o termo em B vai sumir. A gente chama de invariantes porque tem algumas expressões que não mudam o valor, nem quando a gente roda a cônica. São eles:

A ' + C ' = A + C A ' - C ' = B s e n 2 θ B ' 2 - 4 A ' C ' = B 2 - 4 A C F ' = F

Essas letras, A ' , B ' , C ' e F ' serão os coeficientes da equação da cônica, já desrotacionada. Repara no seguinte: B ' = 0 , já que estamos com a cônica desrotacionada. Tem que saber também que esse θ da segunda equação é o ângulo de rotação da cônica, que a gente calcula como:

t g 2 θ = B A - C

Se por acaso A = C , a tangente vai tender ao infinito. Isso quer dizer que 2 θ = 90 ° , e aí o ângulo de rotação θ = 45 ° . Beleza, já relembramos tudo, agora vamos resolver essa parada.

Passo 2

A equação da nossa cônica é:

x 2 + y 2 + 4 x y - 3 = 0

Cuidado com esse termo trocado, não vai se confundir não! Comparando com a equação completa da cônica, a gente tem:

A = 1

B = 4

C = 1

D = E = 0

F = - 3

Vamos encontrar o ângulo de rotação:

t g 2 θ = 4 1 - 1

Opa, essa tangente aí tá zoadona! Pode dividir por zero não, parça. Esse é o caso que eu falei lá em cima! Essa é a rotação que tem A e C iguais, então o ângulo de rotação é 45 ° , e aí s e n 2 θ = 1 .

Passo 3

Show, já temos tudo que precisávamos! Vamos ver os invariantes.

A ' + C ' = 1 + 1 = 2 A ' - C ' = 4 1 = 4 F ' = - 3

Resolvendo o sistema das duas primeiras linhas, vamos encontrar A ' = 3 e C ' = - 1 . Beleza, então já sabemos a equação da cônica no sistema x ' O y ' !

3 x ' 2 - y ' 2 - 3 = 0

Dividindo tudo por 3 e passando o termo independente pro outro lado:

x ' 2 - y ' 2 3 = 1

Essa equação representa uma hipérbole!

Passo 4

Fazendo o esboço delas:

Resposta

x ' 2 - y ' 2 3 = 1

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