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As equações dos problemas 25 a 35 representam cônicas degeneradas. Identificá-las e esboçar o gráfico, quando possível.

3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 + 4 = 0

Passo 1

Pra resolver essa, vamos usar aquele conceito de rotação de cônicas que mostrei ao longo das soluções. Vou lembrar aqui: é o método dos invariantes.

A nossa cônica desrotacionada vai ter equação:

A ' x 2 + C ' y 2 + F ' = 0

Esses coeficientes são chamados invariantes porque tem uma relação direta com os coeficientes da equação original, que era:

A x 2 + B x y + C y 2 + F = 0

É assim:

A ' + C ' = A + C A ' - C ' = B s e n 2 θ F ' = F

E esse θ é o ângulo de rotação, que obtivemos pela equação:

t g 2 θ = B A - C

Se A = C , chegamos numa indeterminação, que é o caso da tangente que não existe. Nesse caso,

2 θ = π 2 → θ = π 4

Passo 2

Sabendo disso, vamos substituir nas equações:

A ' + C ' = 3 + 3 A ' - C ' = 2 s e n π 2 F ' = 4

Resolvendo o sistema em A ' e C ' :

A ' + C ' = 6 A ' - C ' = 2

Vamos obter:

A ' = 4

C ' = 2

Por isso, a nossa equação da cônica vai ser:

4 x 2 + 2 y 2 + 4 = 0

Simplificando,

2 x 2 + y 2 + 2 = 0

Passo 3

Dessa equação, passando pro outro lado:

2 x 2 + y 2 = - 2

Aqui a gente tem dois quadrados sendo somados e dando um número negativo. Pode isso, Arnaldo? Pode não! Isso não existe. Então essa cônica degenerada é na verdade o conjunto vazio.

Resposta

Conjunto vazio.

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