Enunciado

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.

23 - y = 3 x ,   y = 0 ,   y = 2

D – O eixo x.

Passo 1

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ c d 2 π ⋅ r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d x

Como o exercício solicitou em torno de outro eixo, deveremos descobrir o valor dos limites para x.

y = 3 x ,   p a r a   x = 0 ⇒ y = 3 ⋅ 0 = 0 ; y = 3 x ,   p a r a   x = 2 ⇒ y = 2 ⋅ 3 = 6

Alterando a função: y = - 3 x + 6   ,   x = 2 - 1 3 y

Assim os limites de integração serão: c = 0   e   d = 6

V =   2 π ∫ 0 6 y ( 2 - 1 3 y ) d x = 2 π ∫ 0 6 2 y - 1 3 y 2 d x =

Resolvendo a integral teremos:

V = 2 π 2 y 2 2 3 - 1 3 y 3 3 0 6 = 2 π y 2 - 1 9 y 3 0 6

Resolvendo os limites de integração:

V = 2 π 6 2 - 1 9 6 3 - 0 2 - 1 9 0 3

V = 2 π 36 - 1 9 ⋅ 216 - 0 = 2 π 36 - 216 9

V = 2 π 36 - 24 ⇒ 2 π ⋅ 12 = 24 π u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

Assim o volume será: 24 π   u . v .

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