Enunciado

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.

23 - y = 3 x ,   y = 0 ,   y = 2

B – A reta x = 4.

Passo 1

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ a b 2 π ⋅ r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d x

Substituindo teremos:

Observe que no exercício anterior como não tínhamos uma reta, utilizamos apenas o x pra o raio, agora utilizaremos: 4 - x

V =   2 π ∫ 0 2 4 - x ( 3 x ) d x = 2 π ∫ 0 2 12 x - 3 x 2 d x = 6 π ∫ 0 2 4 x - x 2   d x

Resolvendo a integral teremos:

V = 6 π 4 x 1 + 1 1 + 1 - x 2 + 1 2 + 1 0 2 = 6 π 4 x 2 2 - x 3 3 0 2 = 6 π 2 x 2 - x 3 3

Resolvendo os limites de integração:

V = 6 π 2 ⋅ 2 2 - 2 3 3 - 2 ⋅ 0 2 - 0 3 3

V = 6 π 8 - 8 3 - 0

V = 48 π - 48 π 3 = 48 π - 16 π ⇒ 32   π   u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

Assim o volume será: 32 π   u . v .

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