Enunciado

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.

24 - y = x 3 ,   y = 8 ,   y = 0

C – A reta x = -   2 .

Passo 1

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ c d 2 π ⋅ r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d x

Como o exercício solicitou em torno do eixo y, deveremos descobrir o valor dos limites:

y = x 3 ,   p a r a   x = 0 ⇒ y = 0 3 = 0 ; y = x 3 ,   p a r a   y = 8 ⇒ 8 = x 3 = 2

Alterando a função: y =   8 - x 3

Assim os limites de integração serão: c = 0   e   d = 2

Observe que agora o raio será x + 2 , pois se fosse - x - 2 daria um valor de volume negativo.

V =   2 π ∫ 0 2 ( 2 + x ) ( 8 - x 3 ) d x = 2 π ∫ 0 2 16 - 2 x 3 + 8 x - x 4   d x =

Resolvendo a integral teremos:

V = 2 π 16 x - 2 x 4 4 + 8 x 2 2 - x 5 5 0 2 = 2 π 16 x - x 4 2 + 4 x 2 - x 5 5 0 2

Resolvendo os limites de integração:

V = 2 π 16 ⋅ 2 - 2 4 2 + 4 ⋅ 2 2 - 2 5 5 - 24 ⋅ 0 - 0 4 2 + 4 ⋅ 0 2 - 0 5 5

V = 2 π 32 - 8 + 16 - 32 5 = 2 π 40 - 32 5 = 2 π 168 5

V = 336 π 5 u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

Assim o volume será: V = 336 π 5 u . v .

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