Enunciado

38 – A região no primeiro quadrante limitada em cima pela curva y = 1 x a esquerda pela reta x = 1 4 e abaixo da reta y = 1 é girada em torno do eixo y para gerar um sólido. Determine o volume do sólido pelo:

A – Método da casca.

Passo 1

.

Deste modo temos que nas coordenada de y a figura é limitada a = 1   e   b = 2

Já para as coordenadas de x ela está limitada em a = 1 4   e   b = 1

Passo 2

Resolver em torno do eixo x:

Fórmula:

V = 2 π ∫ a b r a i o ⋅ a l t u r a   d x

Inserindo na fórmula teremos:

V = 2 π ∫ 1 4 1 x 1 x - 1 d x

V = 2 π ∫ 1 4 1 x x 1 2 - x   d x  

V = 2 π ∫ 1 4 1 x 1 2 - x   d x

Resolvendo a integral teremos:

2 π x 1 2 + 1 1 2 + 1 - x 2 2 1 / 4 1 = 2 π x 3 2 3 2 - x 2 2 1 / 4 1 = 2 π 2 x 3 3 - x 2 2 1 / 4 1

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

2 π 2 1 3 3 - 1 2 2 - 2   1 4 3 3 - 1 4 2 2 = 2 π 2 3 - 1 2 - 2 ⋅ 1 2 3 3 - 1 16 2 = 2 π 2 3 - 1 2 - 2 8 3 + 1 32

Resolvendo dentro dos colchetes:

2 π 2 3 - 1 2 - 1 12 + 1 32 = 2 π 64 - 48 - 8 + 3 96 = 2 π 11 96 = 11 48 π   u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

11 48 π   u . v .

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