Enunciado

Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los.

34 – A região no primeiro quadrante limitada pela curva x   =   y   –   y 3 ,   x = 1   e   y = 1 e pelo eixo y em torno

B – Do eixo y.

Passo 1

Primeiramente organizando as funções em tono do eixo y:

x = y - y 3

Assim os limites de integração são: a = 0   e   b = 1

Passo 2

Fórmula do método do anel:

V = π ∫ a b R y 2 - r y 2   d y ,   p a r a   R y 2 = 1   e   r y 2 = y - y 3

Inserindo na fórmula teremos:

V = π ∫ 0 1 1 2 - y - y 3 2   d y

V = π ∫ 0 1 1 - y 6 - 2 y 4 + y 2 d y  

V = π ∫ 0 1 1 - y 6 + 2 y 4 - y 2   d y

Resolvendo a integral teremos:

π y - y 7 7 + 2 y 5 5 - y 3 3 0 1

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

π 1 - 1 7 + 2 5 - 1 3 - 0  

Resolvendo:

π 97 105 = 97 π 105   u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

97 π 1 0 5   u . v .

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Seja g x =tan 2 ⁡ x x 1 0 , x ≤ π 4 Mostre que x g x = ( tan ⁡ x ) 2; 0 ≤ x ≤ π 4 Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo y na figura a seguir:
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Seja f x =sin ⁡ x x 1 0 , x ≤ π Mostre que x f x = sin ⁡ x0x ≤ π Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo y na figura a seguir:
Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir: x =y; x = - y ; y = 2
Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir: x =2 y - y 2 ; x = 0