Enunciado

Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.

48. q = c o t g ( s e n   t t )

Passo 1

Então galera, de início sabemos que devemos utilizar a regra da cadeia para resolver essa questão, no entanto, o difícil não é utilizar a regra da cadeia, é derivar o argumento do seno, certo? Uma hora ou outra devemos derivar esse argumento, e a técnica utilizada para deriva-lo é a regra do quociente, que nos diz o seguinte:

f t =   g t h t

f t ' = g t ' . h t - g t . ( h t ) ' [ h t ] ²

No qual g e h são:

g t = s e n   t

h t = t

Dessa forma, o que nos resta é descobrir os valores de g ' e h ' , ok? Então bora lá!

Passo 2

De ínicio, galera, temos o seguinte:

q ' =   - c o s s e c 2 s e n   t t . s e n   t t '

Como comentado, o que nos resta é saber a derivada do argumento, ok? Vamos fazer o seguinte então:

f t =   s e n   t t = g ( t ) h ( t )

Onde os valores de g e h já foram colocados no passo anterior.

Passo 3

Descobrindo g ' , temos que:

g t ' = cos ⁡ t

Descobrindo h ' agora, temos que:

h t ' = 1

Agora jogando na regra do quociente que comentamos lá em cima, teremos:

f t ' = g t ' . h t - g t . ( h t ) ' [ h t ] ²

f t ' = cos ⁡ t . t - s e n   t . 1 t ²

∴ f t ' = cos ⁡ t . t - s e n   t t ²

Passo 4

Agora que descobrimos o valor de f ' , basta substituirmos lá na derivada q ' . Fazendo isso, teremos o seguinte resultado:

q ' = - c o s s e c 2 s e n   t t . s e n   t t '

∴ q ' = - c o s s e c 2 s e n   t t . ( cos ⁡ t . t - s e n   t t 2 )

Resposta

q ' = - c o s s e c 2 s e n   t t . ( cos ⁡ t . t - s e n   t t 2 )

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