Enunciado

Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.

42. g x =   t g ( 3 x ) ( x + 7 ) 4

Passo 1

Então galera, para conseguimos resolver essa derivada devemos lembrar de uma regrinha bastante importante quando se trata da derivada de uma divisão, beleza? A regra é a do quociente, que nos diz o seguinte:

g x =   f x h x

∴ g x ' = f x ' . h x - f x . ( h x ) ' [ h x ] ²

No nosso caso, f e h são:

f x = t g ( 3 x )

h x = ( x + 7 ) 4  

Passo 2

Agora que já sabemos a regra que devemos utilizar para resolver a derivada de g , então primeiramente vamos descobrir f ' , ok? Para resolvermos f ' , teremos que utilizar a regra da cadeia, que nos diz o seguinte:

f x ' = d f d u × d u d x

u = 3 x   ⇒   d u d x = 3

f u = t g u ⇒   d f d u = s e c ² ( u )

Substituindo os valores encontrados, teremos:

f x ' = s e c 2 u . 3

∴ f x ' = 3 . s e c 2 3 x

Passo 3

Agora que encontramos f ' , só precisamos encontrar h ' . Para encontrarmos h ' também utilizaremos a regra da cadeia, mas como é uma derivada mais tranquila, vamos fazer um pouquinho mais direto, beleza? Se liga!

h x ' = 4 . x + 7 4 - 1 . ( x + 7 ) '  

∴ h x ' = 4 . ( x + 7 ) 3

Passo 4

Agora que já temos f ' e h ' , basta substituirmos os valores encontrados lááá na regra do quociente que comentamos no começo. Se fizermos isso, teremos:

g x ' = f x ' . h x - f x . h x ' h x 2

g x ' = 3 . s e c 2 3 x . ( x + 7 ) 4 - t g 3 x . 4 . ( x + 7 ) ³ [ x + 7 4 ] ²

Colocando ( x + 7 ) ³ em evidência e depois simplificando com o denominador, teremos:

g x ' = 3 . s e c 2 3 x . x + 7 - 4 . t g ( 3 x ) ( x + 7 ) 5

Resposta

g x ' = 3 . s e c 2 3 x . x + 7 - 4 . t g ( 3 x ) ( x + 7 ) 5

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