Derive.

y = e^x \* cos(2x)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

Temos que:

f x = e x

e

g x = cos ⁡ 2 x

e x cos ⁡ 2 x ' = f ' x g x + g ' x f x = e x ' ⋅ cos ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x ' ⋅ e x

Passo 2

Para calcular as derivadas vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

e f x ' = e f x ⋅ f ' ( x )

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

x n ' = n x n - 1

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 3

Para calculcar f ' x vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

f ' ( x ) = e x ' = e x ⋅ x ' = e x ⋅ x 1 - 1 = e x ⋅ x 0 = e x ⋅ 1 = e x

Com g ' ( x ) usamos a regra da função trigonométrica e a do polinômio:

g ' x = cos ⁡ 2 x ' = - sen ⁡ 2 x ⋅ 2 x ' = - sen ⁡ 2 x ⋅ 2 x 1 - 1 = - sen ⁡ 2 x ⋅ 2 x 0 = - sen ⁡ 2 x ⋅ 2 ⋅ 1 = - 2 sen ⁡ 2 x

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y ' = e x cos ⁡ 2 x ' = e x ' ⋅ cos ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x ' ⋅ e x = e x ⋅ cos ⁡ 2 x + - 2 sen ⁡ 2 x ⋅ e x = e x cos ⁡ 2 x - 2 e x sen ⁡ 2 x

Resposta

y ' = e x cos ⁡ 2 x - 2 e x sen ⁡ 2 x

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