Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 5.Revisão - Ex. 26

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Nos exercícios de 25 a 28, ache o valor exato da integral definida usando a definição; não utilize o teorema fundamental do cálculo.

Passo 1

Vejamos que a definição de integral é:

∫ f x d x = lim Δ x → 0 ⁡ ∑ i = 0 n f x i * Δ x

Onde Δ x = b - a n   e   x i * = lim Δ x → 0 ⁡ i * Δ x + a

Passo 2

Assim, teremos que:

∫ 0 2 2 x 2 + 4 x + 1 d x = lim n → 0 ⁡ ∑ i = 0 n 2 x i * 2 + 4 x i * + 1 2 n   = ∑ i = 0 n 2 x i * 2 2 n   + ∑ i = 0 n 4 x i * 1 2 n + ∑ i = 0 n 2 n  

Passo 3

Vejamos que x i * = lim Δ x → 0 ⁡ i * Δ x + a → x i * 2 = lim Δ x → 0 ⁡ i * Δ x + a 2 = lim Δ x → 0 ⁡ i 2 * Δ x 2 + 2 a Δ x + a 2

Passo 4

Como a = 0 , teremos:

∑ i = 0 n 2 x i * 2 2 n   + ∑ i = 0 n 4 x i * 1 2 n + ∑ i = 0 n 2 n   = ∑ i = 0 n 2 i 2 8 n 3   + ∑ i = 0 n 4 i 4 n 2 + ∑ i = 0 n 2 n   =

= 16 2 n + 1 n + 1 n 6 n 3 + 16 n n + 1 2 n 2 + 2 n n

Passo 5

Logo, teremos que:

lim n → 0 ⁡ ∑ i = 0 n 2 x i * 2 + 4 x i * + 1 2 n   = 16 3 + 8 + 2 = 46 3  

Resposta

∫ 0 2 2 x 2 + 4 x + 1 d x = 46 3

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