Enunciado

Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar um número n de subintervalos para a aproximação (a) pelo ponto médio M n e (b) trapezoidal T n e (c) pela regra de Simpson S n que garanta que o erro absoluto seja menor que o valor dado.

Exercício 6: 10 - 4

∫ 0 3   1 3 x + 1 d x

Passo 1

A ideia aqui é calcular o valor de n usando essas fórmulas:

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

E S ≤ b - a 5 k 4 180 n 4

Como o enunciado já dá o valor do limitante superior do erro, é só a gente substituir esse valor e isolar o n , para cada caso. Vamos lá!

Passo 2

(a) Precisamos avaliar o n para a aproximação pelo método do ponto médio, então vamos usar

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Temos que:

f x = 1 3 x + 1

Derivando duas vezes:

f ' x = - 3 3 x + 1 2 ,   f ' ' x = 18 3 x + 1 3  

Isso é uma divisão, então o valor máximo em módulo acontece no valor mínimo do denominador, que dentro do intervalo [ 0,3 ] , é o próprio x = 0 . Aí vemos que:

K 2 = f ' ' 0 = 18  

Passo 3

Como queremos estimar o número de subintervalos n para que E M = 10 - 4 , com a = 0 e b = 3 , nossa inequação fica:

10 - 4 ≤ 3 - 0 3 18 24 ⋅ n 2

Isolando n :

24 × 10 - 4 3 3 18 ≤ 1 n 2 ∴ 24 × 10 - 4 3 3 18 - 1 2 ≤ n ∴ n ≥ 450

A gente quer garantir que o erro seja maior que o valor do enunciado, e não igual, por isso vamos escolher:

n = 451

Passo 4

(b) Precisamos avaliar o n para a aproximação pelo método trapezoidal, então vamos usar

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Já vimos que:

K 2 = 18

Como queremos estimar o número de subintervalos n para que E T = 10 - 4 , com a = 0 e b = 3 , nossa inequação fica:

10 - 4 ≤ 3 - 0 3 18 12 ⋅ n 2

Isolando n :

12 × 1 0 - 4 3 3 18 ≤ 1 n 2 ∴ 12 × 10 - 4 3 3 18 - 1 2 ≤ n ∴ n ≥ 6 36,4

Como n é inteiro, ele deve ser:

n = 637

Passo 5

(c)Precisamos avaliar o n para a aproximação pela regra de SImpson, então vamos usar

E S ≤ b - a 5 K 4 180 n 4

Onde K 4 é o valor máximo de f ( 4 ) x no intervalo da integral.

Temos que:

f ' ' x = 18 3 x + 1 3

Derivando duas vezes:

f ' ' ' x = - 162 3 x + 1 4 ,   f 4 = 1944 3 x + 1 5  

Isso é uma divisão, então o valor máximo em módulo acontece no valor mínimo do denominador, que dentro do intervalo [ 0,3 ] , é o próprio x = 0 . Aí vemos que:

K 4 = f ( 4 ) 0 = 1944  

Passo 6

Como queremos estimar o número de subintervalos n para que E S = 10 - 4 , com a = 0 e b = 3 , nossa inequação fica:

10 - 4 ≤ 3 - 0 5 1 944 1 80 ⋅ n 4

Isolando n :

180 × 10 - 4 3 5 1 944 ≤ 1 n 4 ∴ 180 × 10 - 4 3 5 1944 - 1 4 ≤ n ∴ n ≥ 71,6

Para a regra de Simpson, n dever ser inteiro par, por isso:

n = 72

Resposta

a   n = 4 51

b   n = 637

c   n = 72

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Seja f 0 = 0 e f x = 1 x se 0x ≤ 1 . Mostre que f não é integrável em 0,1 . [Sugestão: mostre que o primeiro termo na soma de Riemann, f x i * Δ x , pode ser tornado arbitrariamente grande.]
Encontre ∫ 1 2 x - 2 d x . Sugestão: Escolha x i * como a média geométrica de x i - 1 e x i (isto é, x i * = x i - 1 x i ) e use a identidade 1 m m + 1 = 1 m - 1 m + 1
Calcule o limite, reconhecendo primeiro a soma como uma soma de Riemann para uma função definida em 0,1 . lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 3 n 4
Calcule o limite, reconhecendo primeiro a soma como uma soma de Riemann para uma função definida em 0,1 . lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 n + 2 n + 3 n + … + n n