Efetue a antidiferenciação.

∫ 3 + s s + 1 2

Passo 1

Essa integral parece bem mais difícil do que realmente é. Vamo arriscar por substituição? Se liga que a gente tem aí o produto de duas expressões, então é de se esperar que uma só substituição não resolva!

Seja u = s + 1 . Assim, a gente vai ter d u = d s . Fica:

∫ 3 + s s + 1 2 = ∫ u 2 u + 2   d u

Aqui, ainda dá pra fazer outra substituição. Seja v = u + 2 (que implica d v = d u ) pra gente ter a liberdade de integrar esse radical:

∫ 3 + s s + 1 2 = ∫ u 2 u + 2   d u = ∫ v - 2 2 v   d v = ∫ ( v 2 - 4 v + 4 ) v   d v .

Passo 2

Fazendo aquela velha propriedade distributiva, fica:

∫ ( v 2 - 4 v + 4 ) v   d v = ∫ ( v 5 2 - 4 v 3 2 + 4 v 1 2   )   d v

E a gente chegou numa integral polinomial! :D

Agora, integrar isso é fácil e, voltando de v pra u , fica assim:

∫ v 5 2 - 4 v 3 2 + 4 v 1 2   d v = 2 7 v 7 2 - 8 5 v 5 2 + 8 3 v 3 2 + k = 2 7 u + 2 7 2 - 8 5 u + 2 5 2 + 8 3 u + 2 3 2 + k

Passo 3

Agora só resta voltar de u pra s :

2 7 u + 2 7 2 - 8 5 u + 2 5 2 + 8 3 u + 2 3 2 + k = 2 7 s + 3 7 2 - 8 5 s + 3 5 2 + 8 3 s + 3 3 2 + k .

Assim,

∫ 3 + s s + 1 2 = 2 7 s + 3 7 2 - 8 5 s + 3 5 2 + 8 3 s + 3 3 2 + k .

Resposta

∫ 3 + s s + 1 2 = 2 7 s + 3 7 2 - 8 5 s + 3 5 2 + 8 3 s + 3 3 2 + k .

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