Enunciado

Nos exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente , calcule-a.

20. ∫ 0 ∞ e - x d x x  

Passo 1

Para determinar se a integral é convergente ou divergente, devemos obter o seu valor primeiro para com o resultado em mãos afirmar se ela convergiu para algum número ou divergiu para o infinito.

Quando se trabalha com integrais impróprias, devemos lembrar de analisar onde está havendo a descontinuidade para transformar a integral dada num limite ,com um t qualquer tendendo para onde ela é descontínua, da integral dada.

Devemos também, as vezes , fazer algumas jogadinhas nas integrais para parecer com alguma integral que apresenta o seu resultado já pronto e assim poupar tempo nas resoluções.

Passo 2

Ao analisarmos a integral dada percebemos que existe uma descontinuidade infinita tanto em 0 e um extremo superior infinito, sendo assim podemos reescrever a integral dada da seguinte forma:

∫ 0 ∞ e - x d x x   = ∫ 0 1 e - x d x x   + ∫ 1 ∞ e - x d x x   = lim s → 0 + ⁡ ∫ s 1 e - x d x x   + lim t → + ∞ ⁡ ∫ 1 t e - x d x x   =

= lim s → 0 + ⁡ - 2 e - x s 1 + lim t → + ∞ ⁡ - 2 e - x 1 t = lim s → 0 + ⁡ [ - 2 e - 1 + 2 e - s ] + lim t → + ∞ ⁡ - 2 e - t + 2 e - 1 =

= - 2 e - 1 + 2 - 0 + 2 e - 1 = 2

Logo, a integral dada é convergente.

Resposta

∫ 0 ∞ e - x d x x   = 2

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