Enunciado

Mostre que se f ( x ) é integrável em qualquer intervalo de números reais e a e b sã0 números reais com a < b , então

  1. Ambas ∫ a ∞   f x d x e ∫ - ∞ a   f x d x convergem, se somente se, ∫ - ∞ b   f x d x e ∫ b ∞   f x d x convergem.

Passo 1

Perceba que

∫ - ∞ b   f x d x =   ∫ - ∞ a   f x d x +   ∫ a b   f x d x

Daí,

∫ - ∞ a   f x d x =   ∫ - ∞ b   f x d x -   ∫ a b   f x d x

E como, ∫ - ∞ b   f x d x é convergente, pela hipótese . E, ∫ a b   f x d x   existe pois f x é integrável em todo o intervalo a , b .  

Então

∫ - ∞ a   f x d x é uma subtração de integrais convergentes e, portanto, convergente.

Da mesma forma, argumentamos a volta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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