Enunciado

A integral

f x = 1 σ 2 π   e - 1 2 x - μ σ 2 é chamada função densidade de probabilidade normal, com média μ e desvio padrão σ e tem aplicações importantes em probabilidade e estatística .

  1. Trace o gráfico do integrando f . Determine os intervalos em que f é crescente, decrescente e quaisquer valores extremos locais e onde eles ocorrem.

Passo 1

Inicialmente considere y ' = f ' x . em seguida identificaremos se f ' ( x ) possui pontos críticos para isso faremos   f ' ( x ) = 0 , ou seja,

= 1 σ 2 π   e - 1 2 x - μ σ 2

f ' x = 1 σ 2 2 x - μ σ     1 σ 2 π   e - 1 2 x - μ σ 2

Igualando a zero,

1 σ x - μ σ   1 σ 2 π   e - 1 2 x - μ σ 2 = 0

Como a exponencial nunca se anula

1 σ x - μ σ   1 σ 2 π = 0 ⟹   x - μ σ 2 = 0   ⟹ x = μ

Isso significa que x = μ = 0 é um número crítico.

Vamos analisar o que acontece com a função nas proximidades dele.

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( - 2 , 0 )       , f ' ( x ) assume valores positivos ( f x   cresce). E para valores dentro do intervalo ( 0,2 )       , f ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f x   decresce). Logo, x = μ é um ponto de máximo no intervalo de ( - 2,2 ) .

Passo 2

Determinaremos agora f ' ' ( x ) .

f ' ' x = 1 σ 2 2 2 x - μ σ 2     1 σ 2 π   e - 1 2 x - μ σ 2

Como já determinamos f ' ' ( x ) podemos verificar se ela possui pontos inflexão, para isso faremos f ' ' x = 0 , ou seja,

1 σ 2 2 2 x - μ σ 2     1 σ 2 π   e - 1 2 x - μ σ 2 = 0

x = μ

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( - ∞ , 1 - 7 3 )     x = 1 - 7 3   , f ' ' ( x ) assume valores positivos ( f x tem concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo ( 1 - 7 3 , 0 )     x = 1 - 7 3     , f ' ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f x tem concavidade para baixo). Logo, x = 1 - 7 3 é um ponto de inflexão no intervalo de ( - ∞ , 0 ) ,   ou seja, f ( x ) possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Já, para valores dentro do intervalo ( 2,0 )   f ' ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f x tem concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo ( 0 , 2 )         , f ' ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f x tem concavidade para cima). Logo, x = μ não é um ponto de inflexão no intervalo de - 2,2 .  

Passo 3

Perceba que f não tem assíntota vertical, pois nunca se anula.

Porém ,

lim x → ±  ∞ ⁡ f x = 0

Resposta

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