Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

1 )   f x = 3 x ² - 2 x + 1  

Passo 1

Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais f ' ( x ) é igual a 0 ou para os quais f ' ( x ) não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais f ' ' ( x ) seja igual a 0 ou para os quais f ' ' ( x ) não existe.

Derivando a função:

f x = 3 x ² - 2 x + 1

f ' x = 6 x - 2

f ' ' x = 6

Achando os pontos críticos:

f ' x = 6 x - 2 = 0

x = 1 3

Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0 e neste caso f ' ' x nunca será igual a 0.

Passo 2

Usando o teste da derivada segunda:

Pela tabela, podemos ver que f ' ' 1 3 > 0 , ou seja, tem um valor mínimo relativo. A mesma conclusão pode ser observada analisando a derivada primeira, o gráfico está decrescendo para valores menores que 1 3 e crescendo para valores maiores. Como a concavidade está para cima em todo o gráfico, 1 3 não é ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Mínimo Relativo: x = 1 3 ;

Não há pontos de inflexão;

O gráfico possui concavidade para cima para todos os valores de x.

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