Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

3 )   f x = - 4 x 3 + 3 x ² + 18 x  

Passo 1

Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais f ' ( x ) é igual a 0 ou para os quais f ' ( x ) não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais f ' ' ( x ) seja igual a 0 ou para os quais f ' ' ( x ) não existe.

Derivando a função:

f x = - 4 x 3 + 3 x ² + 18 x  

f ' x = - 12 x 2 + 6 x + 18  

f ' ' x = - 24 x + 6

Achando os pontos críticos:

f ' x = - 12 x 2 + 6 x + 18 = 0

x ' = 3 2                       x ' ' = - 1

Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0:

f ' ' x = - 24 x + 6 = 0

x = 1 4

Passo 2

Usando o teste da derivada segunda:

Pela tabela, podemos ver que f ' ' - 1 > 0   e   f ' ' 3 2 < 0 , ou seja, temos um valor mínimo e máximo relativo, respectivamente. A mesma conclusão pode ser observada analisando a derivada primeira, o gráfico está decrescendo para valores menores que - 1 e crescendo para valores entre ( - 1 , 1 4 ), ou seja, ponto mínimo. Para ( 1 4 , 3 2 ) a função cresce e decresce para valores maiores que 3 2 , ou seja, ponto máximo. Para o ponto de inflexão, a derivada segunda no intervalo ( - 1 , 1 4 ) é positiva, concavidade para cima, e ( 1 4 , 3 2 ) negativa, concavidade para baixo, indicando que x = 1 4 é um ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Mínimo Relativo: x = - 1 ;

Máximo Relativo: x = 3 2 ;

Pontos de inflexão   x = 1 4 ;

O gráfico possui concavidade para cima para: x < 1 4 ;

O gráfico possui concavidade para baixo para: x > 1 4 .

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