Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

1 2 )   f x = 2 sen ⁡ 4 x ;       x ∈ [ 0 , 1 2 π   ]  

Passo 1

Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais f ' ( x ) é igual a 0 ou para os quais f ' ( x ) não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais f ' ' ( x ) seja igual a 0 ou para os quais f ' ' ( x ) não existe.

Derivando a função:

f x = 2   sen ⁡ 4 x

f ' x = 8   c o s   4 x  

f ' ' x = - 32 s en ⁡ 4 x

Achando os pontos críticos:

f ' x = 8   c o s   4 x = 0

4 x =   ( k + 1 2 ) π ,             k   é   n ú m e r o   i n t e i r o      

x ' = 1 8 π                   x ' ' = 3 8 π

Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0:

f ' ' x = - 32 sen ⁡ 4 x = 0

4 x = k π ,             k   é   n ú m e r o   i n t e i r o  

x ' = 0                   x ' ' = π 4                       x ' ' ' = π 2

Passo 2

Usando o teste da derivada segunda:

Pela tabela, podemos ver que f ' ' 1 8 π < 0 indicando máximo relativo. Já f ' '   3 8 π > 0 ,   ponto mínimo. Pela derivada primeira, a função cresce para até o valor de x = 1 8 π e decresce para valores maiores. O oposto é observado para o ponto mínimo. Para o ponto de inflexão, a derivada segunda indica concavidade para baixo para valores menores que 1 4 π e para cima em valores maiores, indicando que x = 1 4 π é um ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Mínimo Relativo: x = 3 8 π ;

Máximo Relativo: x = 1 8 π ;

Pontos de inflexão   x = 1 4 π ;

O gráfico possui concavidade para cima para: 1 4 π < x < 1 2 π ;

O gráfico possui concavidade para baixo para: 0 < x < 1 4 π .

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