Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

9 )   h x = x 4 - x 3 3 - 3 2 x ²  

Passo 1

Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais f ' ( x ) é igual a 0 ou para os quais f ' ( x ) não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais f ' ' ( x ) seja igual a 0 ou para os quais f ' ' ( x ) não existe.

Derivando a função:

h x = x 4 - x 3 3 - 3 2 x 2

h ' ( x ) = 4 x 3 - x 2 - 3 x  

h ' ' x = 12 x ² - 2 x - 3

Achando os pontos críticos:

h ' ( x ) = 4 x 3 - x 2 - 3 x   = 0

x ' = 0                       x ' ' = 1                     x ' ' ' = - 0,75    

Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0:

h ' ' x = 12 x ² - 2 x - 3 = 0

x ' = 0,59               x ' ' = - 0,42

Passo 2

Usando o teste da derivada segunda:

Pela tabela, podemos ver que f ' ' 0 < 0 indicando máximo relativo. Pela derivada primeira chegamos ao mesmo resultado, já que para o intervalo (-0,42;0) a função é crescente e decrescente para (0;0,59). Já f ' ' - 0 , 75 > 0   e   f ' ' 1 > 0 indica pontos mínimos. Pela derivada primeira, o gráfico está decrescendo no intervalo anterior aos pontos e crescendo para valores maiores. Para os pontos de inflexão, a derivada segunda indica concavidade para cima para valores menores que -0,42 e para baixo no intervalo (-0,42;0,59), para valores acima de 0,59 a concavidade volta a ser voltada para cima, indicando que x = - 0,42   e   x = 0,59 são pontos de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Mínimo Relativo: x = - 0,75   e   x = 1 ;

Máximo Relativo: x = 0 ;

Pontos de inflexão   x = - 0,42   e   x = 0,59   ;

O gráfico possui concavidade para cima para: x < - 0,42   e   x > 0,59 ;

O gráfico possui concavidade para baixo para: - 0,42 < x < 0,59 .

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