Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

6 )   f y = y ³ - 5 y ² + 6  

Passo 1

Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais f ' ( x ) é igual a 0 ou para os quais f ' ( x ) não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais f ' ' ( x ) seja igual a 0 ou para os quais f ' ' ( x ) não existe.

Derivando a função:

f y = y ³ - 5 y ² + 6

f ' y = 3 y 2 - 10 y  

f ' ' y = 6 y - 10

Achando os pontos críticos:

f ' y = 3 y 2 - 10 y = 0

y ' = 0                       y ' ' = 10 3

Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0:

f ' ' y = 6 y - 10 = 0

y = 5 3

Passo 2

Usando o teste da derivada segunda:

Pela tabela, podemos ver que f ' ' 0 < 0   e   f ' ' 10 3 > 0 , ou seja, temos um valor máximo e mínimo relativo, respectivamente. A mesma conclusão pode ser observada analisando a derivada primeira, o gráfico está crescendo para valores menores que 0 e decrescendo para valores entre ( 0 , 5 3 ), ou seja, ponto máximo. Para ( 5 3 , 10 3 ) a função decresce e cresce para valores maiores que 10 3 , ou seja, ponto mínimo. Para o ponto de inflexão, a derivada segunda no intervalo ( 0 , 5 3 ) é negativa, concavidade para baixo, e positiva para ( 5 3 , 10 3 ), concavidade para cima, indicando que x = 5 3 é um ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Mínimo Relativo: x = 10 3 ;

Máximo Relativo: x = 0 ;

Pontos de inflexão   x = 5 3 ;

O gráfico possui concavidade para cima para: x > 5 3 ;

O gráfico possui concavidade para baixo para: x < 5 3 .

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3. a) Use os testes da derivada primeira e da derivada segunda para mostrar que f x = 3 x 2 - 6 x + 1 tem um mínimo relativo em x = 1 .
6. a) Mostre que f x = 1 - x 5 e g x = 3 x 4 - 8 x 3 têm pontos estacionários em x = 0 .b) O que o teste da derivada segunda diz sobre a natureza desses pontos estacionários?c) O que o teste da deriva
2. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades indicadas, onde I = - ∞ ,+ ∞ .b) f tem exatamente dois extremos relativos em I e f x → 0 quando x → + ∞ e x → - ∞ .
7-14. Localize todos os pontos críticos e identifique quais deles são pontos estacionários.8. f x = 3 x 4 + 12 x
7-14. Localize todos os pontos críticos e identifique quais deles são pontos estacionários.10. f x = x 2 x 3 + 8