Enunciado

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Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem. Fazer um esboço do gráfico e comparar os resultados.

e) f t = t 2 ,     t < 0 3 t 2 ,     t ≥ 0

Passo 1

Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Sendo assim, derivando nossa função para obter os pontos críticos, obteremos:

f ' t = 2 t ,     t < 0 6 t ,     t > 0

Agora que encontramos nossa derivada, temos que t = 0 não está definido, então se torna um ponto crítico da nossa função.

Passo 2

Normalmente usaríamos o teste da derivada segunda para dizer se t = 0 é um ponto de máximo ou de mínimo, mas essa estratégia não funcionará para o formato da função que temos! Sendo assim, vamos utilizar a análise de crescimento e decrescimento em torno desse ponto.

À esquerda de t = 0 temos que f ' t < 0 ;

À direita de t = 0 temos que f ' t > 0 .

Como fizemos essa análise? Uma maneira eficaz é adotar um valor de t qualquer à direita e à esquerda de t = 0 e ver se f ' t dá positivo ou negativo. Como a derivada sai de um decrescimento e passa para um crescimento, então t = 0 é um ponto de mínimo, galera! Resumindo:

Pontos de máximo: Não existem.

Pontos de mínimo: t = 0 .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Observando o gráfico podemos concluir que nosso resultado é bem satisfatório! Assim como calculamos, t = 0 é, de fato, um ponto de mínimo!

E essa é a nossa análise da função, pessoal!

Resposta

Pontos de máximo: Não existem.

Pontos de mínimo: t = 0 .

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