Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

11 )   F x = cos ⁡ 3 x ;       x ∈ [ - 1 6 π   , 1 2 π   ]  

Passo 1

Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais f ' ( x ) é igual a 0 ou para os quais f ' ( x ) não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais f ' ' ( x ) seja igual a 0 ou para os quais f ' ' ( x ) não existe.

Derivando a função:

F x = cos ⁡ 3 x

F ' x = - 3 s e n   3 x  

F ' ' x = - 9 cos ⁡ 3 x

Achando os pontos críticos:

F ' x = - 3 s e n   3 x = 0

3 x =   k π ,             k   é   n ú m e r o   i n t e i r o      

x ' = 0                   x ' ' = π 3

Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0:

F ' ' x = - 9 cos ⁡ 3 x = 0

3 x = ( k + 1 2 ) π ,             k   é   n ú m e r o   i n t e i r o  

x ' = 1 6 π                   x ' ' = 1 π 2

Passo 2

Usando o teste da derivada segunda:

Pela tabela, podemos ver que f ' ' 0 < 0 indicando máximo relativo. Já f ' '   1 3 π > 0 ,   ponto mínimo. No ponto máximo a função cresce até 0 e decresce de ( 0 , 1 3 π ). No ponto mínimo a função é decrescente no intervalo anterior e crescente para o intervalo posterior. Para o ponto de inflexão, a derivada segunda indica concavidade para baixo para valores menores que 1 6 π e para cima em valores maiores, indicando que x = 1 6 π é um ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Mínimo Relativo: x = 0 ;

Máximo Relativo: x = 1 3 π ;

Pontos de inflexão   x = 1 6 π ;

O gráfico possui concavidade para cima para: 1 6 π < x < 1 2 π ;

O gráfico possui concavidade para baixo para: - 1 6 π < x < 1 6 π .

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