Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

1 5 )   f x = 4 x 1 2 + 4 x - 1 2  

Passo 1

Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais f ' ( x ) é igual a 0 ou para os quais f ' ( x ) não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais f ' ' ( x ) seja igual a 0 ou para os quais f ' ' ( x ) não existe.

Derivando a função:

f x = 4 x 1 2 + 4 x - 1 2  

f ' ( x ) = 2 x - 1 2 - 2 x - 3 2  

f ' ' x = - x - 3 2 + 3 x - 5 2

Achando os pontos críticos:

f ' ( x ) = 2 x - 1 2 - 2 x - 3 2   = 0

x ' = 1

Como f ' ( x ) não existe para x = 0 , este também é um ponto crítico. Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0:

f ' ' x = - x - 3 2 + 3 x - 5 2 = 0

x ' = 3

Passo 2

Usando o teste da derivada segunda:

Pela tabela, podemos ver que f ' ' 1   > 0 indicando mínimo relativo. Pela derivada primeira chegamos ao mesmo resultado, já que para valores menores que 1 a função é decrescente e crescente para valores maiores. Para os pontos de inflexão, a derivada segunda indica concavidade para cima para valores menores que 3 e para baixo nos valores maiores que 3, indicando que x = 3 é um ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Mínimo Relativo: x = 1 ;

Pontos de inflexão   x = 3 ;

O gráfico possui concavidade para cima para: 0 < x < 3 ;

O gráfico possui concavidade para baixo para: x > 3 .

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