Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

7 )   f z = 4 - z 4  

Passo 1

Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais f ' ( x ) é igual a 0 ou para os quais f ' ( x ) não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais f ' ' ( x ) seja igual a 0 ou para os quais f ' ' ( x ) não existe.

Derivando a função:

f z = 4 - z 4

f ' z = - 4 4 - z 3  

f ' ' z = 12 4 - z 2

Achando os pontos críticos:

f ' ( z ) = - 4 4 - z 3 = 0

z = 4

Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0:

f ' ' z = 12 4 - z 2 = 0

z = 4

Passo 2

Usando o teste da derivada segunda:

Pela tabela, podemos ver que f ' ' 4 = 0   , então não podemos analisar com relação a derivada segunda. Analisando a derivada primeira, o gráfico está decrescendo para valores menores que 4 e crescendo para valores maiores, ou seja, ponto mínimo. Para o ponto de inflexão, a derivada segunda é positiva para todos os valores de x, concavidade para cima, indicando que não há ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Máximo Relativo: x = 4 ;

Não há pontos de inflexão;

O gráfico possui concavidade para cima para todos os valores de x .

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