Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 26, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

13 )   f x = x x - 1 3  

Passo 1

Para começar precisamos determinar quais são os pontos críticos da função. Esses pontos são os valores de x para os quais f ' ( x ) é igual a 0 ou para os quais f ' ( x ) não existe. Já para achar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, precisamos achar os valores de x para os quais f ' ' ( x ) seja igual a 0 ou para os quais f ' ' ( x ) não existe.

Derivando a função:

f x = x x - 1 3

f ' x = ( x - 1 ) 3 + 3 x x - 1 2 = 4 x ³ - 9 x 2 + 6 x - 1  

f ' ' x = 12 x ² - 18 x + 6

Achando os pontos críticos:

f ' ( x ) = 4 x ³ - 9 x 2 + 6 x - 1   = 0

x ' = 1                   x ' ' = 1 4

Para achar os pontos de inflexão, a derivada segunda deve ser igual a 0:

f ' ' x = 12 x ² - 18 x + 6 = 0

x ' = 1 2                   x ' ' = 1

Passo 2

Usando o teste da derivada segunda:

Pela tabela, podemos ver que f ' ' 1 4 > 0 , então temos um ponto mínimo. Analisando a derivada primeira, o gráfico está decrescendo para valores menores que 1 4 e crescendo para valores maiores. Para o ponto x = 1 2 , a derivada segunda é positiva para o intervalo anterior e negativa para o posterior, já para x = 1 ocorre o oposto, indicando que x = 1 2   e   x = 1 são pontos de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Mínimo Relativo: x = 1 4 ;

Pontos de inflexão:   x = 1 2   e   x = 1 ;

O gráfico possui concavidade para cima para: x < 1 2   e   x > 1 ;

O gráfico possui concavidade para baixo para: 1 2 < x < 1 .

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