Enunciado

Ache os extermos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, uando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira.

Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.

f x = sec ⁡ x tan ⁡ x

x ∈ - π 2 , π 2

Passo 1

Vamos começar achandos os pontos críticos da função. Porque eles são os candidatos a extremo. Para isso vamos pegar a derivada de f x . Para isso vamos usar a regra do produto

f ' x = tan ⁡ x sec ⁡ x tan ⁡ x + sec 2 ⁡ x sec ⁡ x

f ' x = tan 2 ⁡ x sec ⁡ x + sec 3 ⁡ x

Colocando tan ⁡ x sec ⁡ x em evidência:

f ' x = sec ⁡ x tan 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x

Os pontos crítos são aqueles que a derivada é 0 ou não existe. A secante não vai existir quando o cosseno for igual a 0 . Isso porque

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Mesma coisa rola com a tangente

tan ⁡ x = sen ⁡ x cos ⁡ x

No intervalo de x , não temos nenhum valor que zera o cosseno.

Então vamos ver quando a derivada é 0

f ' x = 0 → sec ⁡ x tan 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x = 0

Fazendo:

sec ⁡ x = 0       o u     tan 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x = 0

Não teremos solução na primeira, a secante nunca é 0 .

Da segunda

tan 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x = 0

sec 2 ⁡ x = - tan 2 ⁡ x

Da identidade fundamental trigonométrica

sec 2 ⁡ x = 1 + tan 2 ⁡ x

Mas se substituirmos sec 2 ⁡ x = - tan 2 ⁡ x , vamos chegar em

- tan 2 ⁡ x = 1 + tan 2 ⁡ x

2 tan 2 ⁡ x = - 1

O que não vai acontecer, porque não podemos ter um número ao quadrado sendo negativo.

Então não vamos ter extremos.

Passo 2

Vamos agora para a concavidade:

f ' x = sec ⁡ x tan 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x

Para fazer a derivada vamos usar a regra do produto e depois a regra da cadeira.

f ' ' x = sec ⁡ x ' tan 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x '

f ' ' x = sec ⁡ x tan ⁡ x tan 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x 2 tan ⁡ x sec 2 ⁡ x + 2 sec ⁡ x sec ⁡ x tan ⁡ x

f ' ' x = sec ⁡ x tan ⁡ x tan 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x 2 tan ⁡ x sec 2 ⁡ x + 2 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x

f ' ' x = sec ⁡ x tan ⁡ x tan 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x 4 tan ⁡ x sec 2 ⁡ x

Colocando sec ⁡ x tan ⁡ x em evidência

f ' ' x = sec ⁡ x tan ⁡ x tan 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x + 4 sec 2 ⁡ x

f ' ' x = sec ⁡ x tan ⁡ x tan 2 ⁡ x + 5 sec 2 ⁡ x

Vamos analisar direto os sinais dessa função para achar a concavidade e de quebra os pontos de inflexão.

A expressão dentro do parênteses é sempre positiva. Isso porque secante é maior que 1 e tangente ao quadrado é maior que 0 .

No fundo o sinal depende só de tan ⁡ x , isso porque, no intervalo dado a secante é positiva.

Vamos olhar o sinal da tangente.

Ela é positiva depois de 0 e negativa antes.

Então o ponto de inflexão é:

x = 0

E vai ser côncava para cima em x < 0 e para baixo em x > 0

Passo 3

Vamos organizar as informações para o nosso gráfico:

Ponto de inflexão:

x = 0

Concava para cima:

x < 0

Concava para baixo

x > 0

O esboço vai ficar:

Resposta

Ponto de inflexão:

x = 0

Concava para cima:

x < 0

Concava para baixo

x > 0

O esboço vai ficar:

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