Enunciado

Nos Exercícios 27 e 28, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.

28 –

C – Para a reta y = 5 .

Passo 1

Observe que os limites da figura do eixo apresentado é o 2 e 0, logo este será nosso limite integração. Para tal o raio será 5 - y

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ b a 2 π ⋅ r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d y

Inserimos agora os valores na fórmula:

Para a função teremos:

V =   2 π ∫ 0 2 ( 5 - y ) y 2 2 - y 4 4 - y 2 2 d y = 2 π ∫ 0 2 ( 5 - y ) y 2 2 - y 4 4 + y 2 2 d y = 2 π ∫ 0 2 ( 5 - y ) y 2 - y 4 4 d y

Desenvolvendo a multiplicação:

2 π ∫ 0 2 5 y 2 - 5 y 4 4 + y 5 4 - y 3   d y

Resolvendo a integral teremos:

V = 2 π 5 y 3 3 - 5 y 5 20 + y 6 24 - y 4 4 0 2

Resolvendo os limites de integração:

V = 2 π 5 ⋅ 2 3 3 - 5 ⋅ 2 5 20 + 2 6 24 - 2 4 4 - 5 ⋅ 0 3 3 - 5 ⋅ 0 5 20 + 0 6 24 - 0 4 4

V = 2 π 40 3 - 160 20 + 64 24 - 16 4 - 0  

V = 2 π 40 3 - 8 + 8 3 - 4 = 2 π 48 3 - 12 = 2 π 16 - 12 = 2 π 4 = 8 π u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

8 π   u . v .

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