Enunciado

Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em torno do eixo y e anéis são usados, devemos integrar em relação a y. No entanto, pode não ser possível expressar o integrando em termos de y . Em tais casos, o método da casca permite integrar em relação a x em vez de y. Os Exercícios 29 e 30 fornecem uma compreensão clara disso.

29 – Calcule o volume do sólido obtido com a rotação em tomo de cada eixo coordenado da região limitada por y = x e y = x 2 , usando:

B – O método do anel.

Passo 1

Antes de realizar o que se pede, iremos plotar o gráfico das funções dadas, assim teremos esta figura que segue os limites de 1 e 0.

Desta forma utilizaremos primeiro o método do anel em torno do eixo x e depois em torno do eixo y.

Passo 2

Primeiramente vamos verificar as funções para o eixo x.

R x = x   e   r x = x 2

Assim é verificado para este método.

Utilizando a fórmula:

V = π ∫ a b R x 2 - r x 2   d x

Inserindo na fórmula teremos:

R x 2 = x ⋅ x = x 2

r x 2 = x 2 ⋅ x 2 = x 4

V = π ∫ 0 1 x 2 - x 4   d x

Resolvendo a integral teremos:

π x 3 3 - x 5 5 0 1

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

π 1 3 3 - 1 5 5 - 0 3 3 - 0 5 5  

Resolvendo:

π 1 3 - 1 5 - 0

Tirando o mínimo múltiplo comum e resolver as frações:

π 5 - 3 15 = 2 π 15 u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Passo 3

Em torno do eixo y.

Precisaremos encontrar a função em relação a y.

y = x ,   r y = y   e   y = x 2 ,   R y =   y  

R y 2 = y 2 = y   e   r y 2 = y 2

Inserindo na fórmula:

V = π ∫ c d R x 2 - r x 2   d x

V = π ∫ 0 1 y - y 2   d y

Resolvendo as integrais:

π y 2 2 - y 3 3 0 1

Substituindo os limites de integração:

π 1 2 2 - 1 3 3 - 0 2 2 - 0 3 3

Assim:

π 1 2 - 1 3 = π 1 6 = π 6 u . v .

Resposta

Em torno do eixo x = 2 π 15 u . v .

Em torno do eixo y = π 6   u . v .

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