Enunciado

Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em torno do eixo y e anéis são usados, devemos integrar em relação a y. No entanto, pode não ser possível expressar o integrando em termos de y . Em tais casos, o método da casca permite integrar em relação a x em vez de y. Os Exercícios 29 e 30 fornecem uma compreensão clara disso.

30 – Calcule o volume do sólido obtido com a rotação da região triangular limitada pelas retas 2 y   =   x   +   4 , y   =   x e x   = 0 em torno

D – Da reta y   =   8 , usando o método do anel.

Passo 1

Antes de realizar o que se pede, iremos plotar o gráfico das funções dadas, assim teremos esta figura que segue os limites de 4 e 0.

Agora acharemos as equações para o eixo x:

P r i m e i r a   :   2 y = x + 4 → y = x + 4 2 ⇒ y = x 2 + 4 2 ,   y = x 2 + 2

S e g u n d a : y = x

Passo 2

Primeiramente vamos verificar as funções para o eixo x.

Como é através da reta y = 8, faremos:

8 - R x = 8 - x

8 - r x = 8 - x 2 - 2 = 6 - x 2

Utilizando a fórmula:

V = π ∫ a b R x 2 - r x 2   d x

Inserindo na fórmula teremos:

V = π ∫ 0 4 8 - x 2 - 6 - x 2 2   d x

V = π ∫ 0 4 x 2 - 16 x + 64 - x 2 4 + 6 x - 36   d x = π ∫ 0 4 3 x 2 4 - 10 x + 28   d x

Resolvendo a integral teremos:

π 3 x 3 12 - 10 x 2 2 + 28 x 0 4 = π x 3 4 - 5 x 2 + 28 x 0 4

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

π 4 3 4 - 5 ⋅ 4 2 + 28 ⋅ 4 - 0 3 4 - 5 ⋅ 0 2 + 28 ⋅ 0  

Resolvendo:

π 64 4 - 80 + 112 - 0 = π 16 - 32

π 48 = 48 π u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

48 π   u . v .

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