Enunciado

Nos exercícios 27 a 30 , temos uma comporta de uma represa, colocada verticalmente, com a forma indicada.

Calcular a força total contra a comporta

29.Um triângulo isósceles com 1 6   m de largura no topo e 10   m de altura; nível d’ água: coincide com o topo da comporta.

Passo 1

Para essas questão, usaremos a fórmula seguinte:

F = ∫ c d w k - y [ f y - g y ]

Em que g y é a função que limita a comporta a esquerda e f y é a função que limita a comporta à direita.

c limita a comporta por baixo!

d limita a comporta por cima!

w é o peso por unidade de volume

k é o nível do líquido.

Passo 2

Passo 3

Vamos desenhar o “gráfico” da comporta, e assim conseguiremos tirar as informações que estão nessa integral, com origem na origem do plano cartesiano.

.

A comporta está em vermelho, é delimitada em baixo pelos pontos ( 0 , 0 ) e, pois admitimos esse triangulo com origem na origem do plano cartesiano.

Em cima é delimitada pelos pontos ( - 8 ; 10 ) e ( 8 ; 10 ) , pois o topo precisa medir 1 6   m e o triângulo tem altura de 10   m .

Então,

c = 0

d = 10

A comporta é delimitada à esquerda pela reta que passa pelos pontos ( 0 , 0 ) e ( - 8 ; 10 ) . A reta que passa por esses pontos é a y = - 5 4 x e isolando o x , temos : - 4 5 y = x

À direita a comporta é delimitada pela reta, também, mas essa passa pelos pontos ( 0,0 ) e 8 ; 10 .   A reta que passa por esses pontos é a y = 5 4 x só que precisamos de f ( y ) , então isolando o x , temos: 4 5 y = x .

Agora, vamos isolar as nossas funções! É o passo mais fácil!

g y = - 4 5 y

f y = + 4 5 y

Para finalizar nossa análise, apenas temos que ver o nível da água, em azul. Ora, o nível de água é o mesmo da altura da comporta segundo o enunciado.

k = 10

Passo 4

Substituindo tudo na integral e sabendo que o peso da água por metro cúbico é w = 9.807   N e w t o n .

F = ∫ c d w k - y f y - g y d y = ∫ 0 10 9807 ( 10 - y ) + 4 5 y - ( - 4 5 y ) d y = 9807 ∫ 0 10 ( 10 - y ) 8 y 5 d y

Focando só na integral, temos:

F = 9807 ∫ 0 10 1 6 y - 8 y 2 5 d y =

= 9807 8 y 2 - 8 y 3 1 5 10 0 = 9807   800 - 8000 15 = 9807 × 800 3

= 2.615.200   N

Resposta

F = 2.615.200   N

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